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参数方程{x=-1+2cost,y=2+sint}(t为参数)怎么计算才知道它是圆?

解: 由X=1-cosT, 得 cosT= 1-X 由 Y=2+sinT, 得 sinT=Y-2; 所以有 (sinT)^2+(cosT)^2= (Y-2)^2+(1-x)^2=1; 也就是圆的方程 (X-1)^2 + (Y-2)^2 =1

需要注意的是有个隐藏条件:(sint)^2+(cost)^2=1即(sint+cost)^2-2sint*cost=1将x=cost+sint,y=sint*cost 代入得x^2-2y=1,即y=(x^2)/2-1/2

dx/dt=costdy/dt=-sinty'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-sint/cost=-tantdy'/dt=-secty"=dy'/dx=(dy'/dt)/(dx/dt)=-sect/cost=-sect

cost=(x-1)/2sint=(y+2)/2sint+cost=1(x-1)+(y+2)=4t∈[0,π]∴sint∈[0,1],cost∈[-1,1]∴x∈[-1,3],y∈[-2,0]

对t求导得1,对sint求导得cost,对cost求导得-sint故 dx= 2(1+sint)dtdy= -2cost 即 dy/dx = -cost/(1+sint)

先求一阶导 ,一阶导 为 Y对t求导 (sint)比上 X对t求导 (1-cost)结果为(sint)/(1-cost)求二阶导 的方法与 上面的类似,用一阶导对y求导 比上x对t求导答案可能是-1/(1-cost)^2

dx/dt=2t, dy/dt=-sinty'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-sint/(2t)dy'/dt=-1/2* (tcost-sint)/t^2y"=dy'/dx=(dy'/dt)/(dx/dt)=-1/2*(tcost-sint)/t^2 *1/(2t)=-1/4*(tcost-sint)/t^3

“由参数方程x=cost,y=sint所确定的函数y=y(x)的二阶导数”:与求(d^2y)/(dx^2)的意思是一样的.1、函数y=y(x)的一阶导数的计算:dy/dx=dy/dt /(dx/dt)=cost/(-sint)=-ctgt.2、函数y=y(x)的二阶导数的计算:d^2y/dx^2

由曲线x=costy=2-sint(t为参数)消去参数t,可得x2+(y-2)2=1.故答案为x2+(y-2)2=1.

x^2+y^2=sint^2+cost^2=1,根据x,y的关系就能证明它是一个圆心以原点半径为,1的圆了.

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